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Die Begriffe algebraisches und transzendentes Element treten in der abstrakten Algebra auf und verallgemeinern das Konzept von algebraischen und transzendenten Zahlen.

Definition |

Sei L/K{displaystyle L/K} eine Körpererweiterung, a∈L{displaystyle ain L} ein Element.
Dann heißt a{displaystyle a} algebraisch über K{displaystyle K}, wenn es ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom mit Koeffizienten in K{displaystyle K} gibt, das a{displaystyle a} als Nullstelle hat.

Ein Element aus L{displaystyle L}, das nicht algebraisch über K{displaystyle K} ist, heißt transzendent über K{displaystyle K}.^[1]

Beispiele |

• Eine komplexe Zahl ist genau dann eine algebraische Zahl, wenn sie ein algebraisches Element in der Körpererweiterung C/Q{displaystyle mathbb {C} /mathbb {Q} } ist.


• Die Quadratwurzel von 2 ist algebraisch über Q{displaystyle mathbb {Q} }, denn sie ist eine Nullstelle des Polynoms X2−2{displaystyle X^{2}-2}, dessen Koeffizienten rational sind.


• Die Kreiszahl π{displaystyle pi } und die Eulersche Zahl e{displaystyle e} sind transzendent über Q{displaystyle mathbb {Q} }. Sie sind aber algebraisch über R{displaystyle mathbb {R} }, weil sie als reelle Zahlen definiert sind. Allgemeiner gilt:


• Jedes Element a{displaystyle a} des Körpers K{displaystyle K} ist algebraisch über K{displaystyle K}, denn es ist Nullstelle des linearen Polynoms X−a{displaystyle X-a}.


• Jede komplexe Zahl, die sich durch rationale Zahlen, die Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) sowie durch Wurzelziehen (mit natürlichen Wurzelexponenten) bilden lässt, ist algebraisch über Q{displaystyle mathbb {Q} }.


• Aus der Galoistheorie folgt aber andererseits, dass es über Q{displaystyle mathbb {Q} } algebraische Zahlen gibt, die sich nicht auf diese Weise darstellen lassen; vergleiche hierzu den Satz von Abel-Ruffini.


• Über dem Körper Qp{displaystyle mathbb {Q} _{p}} der p-adischen Zahlen ist e{displaystyle e} (als Grenzwert der Reihe der reziproken Fakultäten) algebraisch, denn für p>2{displaystyle p>2} ist ep{displaystyle e^{p}} und für p=2{displaystyle p=2} ist e4{displaystyle e^{4}} in Qp{displaystyle mathbb {Q} _{p}} enthalten.


• Bildet man zu einem beliebigen Körper K{displaystyle K} den Körper der formalen Laurentreihen K((X)){displaystyle Kleft(left(Xright)right)}, so ist die formale Variable X{displaystyle X} ein transzendentes Element dieser Erweiterung.

Eigenschaften |

Die folgenden Bedingungen sind äquivalent für ein Element a{displaystyle a} aus L{displaystyle L} (einem Oberkörper von K):^[2]

• 
  a{displaystyle a} ist algebraisch über K{displaystyle K}.


• Die Körpererweiterung K(a)/K{displaystyle Kleft(aright)/K} hat endlichen Grad, d. h., K(a){displaystyle Kleft(aright)} ist als K{displaystyle K}-Vektorraum endlichdimensional.


• K(a)=K[a]{displaystyle Kleft(aright)=Kleft[aright]}

Dabei ist K[a]{displaystyle Kleft[aright]} die Ringadjunktion von a{displaystyle a} an K{displaystyle K}, die aus allen Elementen von L{displaystyle L} besteht, die sich als g(a){displaystyle gleft(aright)} mit einem Polynom g{displaystyle g} über K{displaystyle K} schreiben lassen. K(a){displaystyle Kleft(aright)} ist dessen Quotientenkörper in L{displaystyle L} und besteht aus allen Elementen von L{displaystyle L}, die sich als g(a)/h(a){displaystyle gleft(aright)/hleft(aright)} mit Polynomen g{displaystyle g} und h{displaystyle h} über K{displaystyle K} (h(a){displaystyle hleft(aright)} ungleich dem Nullpolynom) schreiben lassen.

Diese Charakterisierung kann genutzt werden, um zu zeigen, dass Summe, Differenz, Produkt und Quotient von über K{displaystyle K} algebraischen Elementen wieder algebraisch über K{displaystyle K} sind. Die Menge aller über K{displaystyle K} algebraischen Elemente von L{displaystyle L} bildet einen Zwischenkörper der Erweiterung L/K{displaystyle L/K}, den sogenannten algebraischen Abschluss in L{displaystyle L}. Dieser Begriff ist nicht zu verwechseln mit dem algebraischen Abschluss von K{displaystyle K}.

Minimalpolynom |

Ist a{displaystyle a} algebraisch über K{displaystyle K}, dann gibt es viele Polynome g∈K[X]{displaystyle gin K[X]} mit g(a)=0{displaystyle gleft(aright)=0}. Es gibt aber genau ein normiertes Polynom von kleinstem Grad mit Nullstelle a{displaystyle a}, dieses heißt „das Minimalpolynom von a{displaystyle a} über K{displaystyle K}“. Aus ihm kann man viele Eigenschaften von a ablesen. Zum Beispiel ist der Grad dieses Polynoms gleich dem Erweiterungsgrad von K(a)/K{displaystyle Kleft(aright)/K}.^[3]

Verallgemeinerung |

In Ringerweiterungen kann der Begriff des ganzen Elementes definiert werden. Fasst man eine Körpererweiterung als Ringerweiterung auf, so ist ein Element dort genau dann ganz, wenn es ein algebraisches Element der Körpererweiterung ist.

Einzelnachweise |

1. 
   ↑ Kurt Meyberg: Algebra II. Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Definition 6.2.10.
   


2. 
   ↑ Kurt Meyberg: Algebra II. Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Satz 6.3.3 und Satz 6.3.4.
   


3. 
   ↑ Kurt Meyberg: Algebra II. Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Kapitel 6.3.