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Die Eulerschen Zahlen oder manchmal auch Euler-Zahlen (nach Leonhard Euler) sind eine Folge En{displaystyle ,E_{n}} ganzer Zahlen, die durch die Taylorentwicklung der Hyperbelfunktion Secans hyperbolicus

sech⁡(x)=1cosh⁡(x)=2ex+e−x=∑n=0∞Enxnn!{displaystyle operatorname {sech} (x)={frac {1}{cosh(x)}}={frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=sum _{n=0}^{infty }E_{n}{frac {x^{n}}{n!}}}

definiert sind.
Sie sind nicht zu verwechseln mit den zweiparametrigen Euler-Zahlen E(n,k).

Zahlenwerte |

Die ersten Eulerschen Zahlen En{displaystyle E_{n}} ≠ 0 lauten

n{displaystyle n}	En{displaystyle E_{n}}
0	1
2	−1
4	5
6	−61
8	1385
10	−50521
12	2702765
14	−199360981
16	19391512145
18	−2404879675441
20	370371188237525

Alle Eulerschen Zahlen mit ungeradem Index sind Null, während diejenigen mit geradem Index alternierendes Vorzeichen haben.
Ferner besitzen die positiven Werte, mit Ausnahme von E₀ bei Division durch 10 den Rest 5 und die negativen Werte modulo 10 den Rest −1 bzw. Wert 9.

Manche Autoren lassen die Zahlen mit ungeradem Index ganz weg, halbieren die Indizes sozusagen, da dort die Werte mit 0 nicht betrachtet werden, und definieren ihre Euler-Zahlen als verbleibende Folge. Manchmal werden die Eulerschen Zahlen auch so definiert, dass sie alle positiv sind, sprich unseren (−1)nE2n{displaystyle (-1)^{n}E_{2n}} entsprechen.

Eigenschaften |

Asymptotisches Verhalten |

Für das asymptotische Verhalten der Eulerschen Zahlen gilt

E2n∼(−1)n8nπ(4nπe)2n=(−1)ne2(4nπe)2n+12{displaystyle E_{2n}sim (-1)^{n},8,{sqrt {frac {n}{pi }}}left({frac {4n}{pi e}}right)^{2n}=(-1)^{n}{frac {sqrt {e}}{2}}left({frac {4n}{pi e}}right)^{2n+{frac {1}{2}}}}

oder präziser

E2n(2n)!∼2(−1)n(2π)2n+1{displaystyle {frac {E_{2n}}{(2n)!}}sim 2,(-1)^{n}left({frac {2}{pi }}right)^{2n+1}}

mit der ~-Äquivalenz-Notation.

Rekursionsgleichung |

Eine leicht zu merkende Form der Rekursionsgleichung mit dem Startwert E0=1{displaystyle E_{0}=1} lautet

∀n∈N:(E+1)n+(E−1)n=0{displaystyle forall ,nin mathbb {N} colon quad (E+1)^{n}+(E-1)^{n}=0}

wobei En{displaystyle E^{n}} als En{displaystyle E_{n}} zu interpretieren ist und woraus

∀n∈N:∑k=0n(1+(−1)n−k)(nk)Ek=0{displaystyle forall ,nin mathbb {N} colon quad sum _{k=0}^{n}left(1+(-1)^{n-k}right){n choose k}E_{k}=0}

bzw. durch Indextransformation die explizite Gestalt

∀n∈N:En=−∑k=1⌊n/2⌋(n2k)En−2k{displaystyle forall ,nin mathbb {N} colon quad E_{n}=-sum _{k=1}^{lfloor n/2rfloor }{n choose 2k}E_{n-2k}}

folgt.

Geschlossene Darstellungen |

Die Eulerschen Zahlen lassen sich sogar exakt^[1]

∀n∈N0:E2n=(2n)!22n+2(−1)nπ2n+1∑k=0∞(−1)k(2k+1)2n+1=(2n)!2(−1)n(2π)2n+1(ζ(2n+1,14)−ζ(2n+1,34)){displaystyle forall ,nin mathbb {N} _{0}colon quad E_{2n}={frac {(2n)!,2^{2n+2}}{(-1)^{n}pi ^{2n+1}}}sum _{k=0}^{infty }{frac {(-1)^{k}}{(2k+1)^{2n+1}}}={frac {(2n)!,2}{(-1)^{n}(2pi )^{2n+1}}}left(zeta (2n+1,{tfrac {1}{4}})-zeta (2n+1,{tfrac {3}{4}})right)}

mittels der Hurwitzschen Zetafunktion ζ{displaystyle zeta } falls n≠0{displaystyle nnot =0} ist, darstellen.
Und unter Ausnutzung ihrer Funktionalgleichung (dort mit m=1, n=4) die elegante Beziehung

E2n=42n+1ζ(−2n,14){displaystyle E_{2n}=4^{2n+1}zeta (-2n,{tfrac {1}{4}})}

aufstellen, die diese Zahlen als skalierte Funktionswerte dieser auf C∖{1}{displaystyle mathbb {C} setminus {1}} holomorphen Funktion identifiziert.
Somit erhalten wir auch

E2n=−42n+1B2n+1(14)2n+1{displaystyle E_{2n}=-4^{2n+1}{frac {B_{2n+1}({tfrac {1}{4}})}{2n+1}}}

was einen direkten Zusammenhang mit den Bernoulli-PolynomenBn(x){displaystyle B_{n}(x)} und somit zu den Bernoulli-Zahlen herstellt. Außerdem gilt

E2n=(−1)n4n+1(2n)!π2n+1⋅β(2n+1),{displaystyle E_{2n}={frac {(-1)^{n}4^{n+1}(2n)!}{pi ^{2n+1}}}cdot beta (2n+1),}

wobei β(s){displaystyle beta (s)} die Dirichletsche Betafunktion bezeichnet.

Eulersche Polynome |

Nicht zu verwechseln mit den Euler-Polynomen

Die Eulerschen Polynome En:R→R{displaystyle {text{E}}_{n}colon mathbb {R} to mathbb {R} } werden meistens durch ihre erzeugende Funktion

2extet+1=∑n=0∞En(x)tnn!{displaystyle {frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=sum _{n=0}^{infty }{text{E}}_{n}(x){frac {t^{n}}{n!}}}

implizit definiert.
Die ersten lauten

E0(x)=1{displaystyle {text{E}}_{0}(x)=1}

E1(x)=x−12{displaystyle {text{E}}_{1}(x)=x-{tfrac {1}{2}}}

E2(x)=x2−x=x(x−1){displaystyle {text{E}}_{2}(x)=x^{2}-x=x(x-1)}

E3(x)=x3−32x2+14=14(2x−1)(2x2−2x−1){displaystyle {text{E}}_{3}(x)=x^{3}-{tfrac {3}{2}}x^{2}+{tfrac {1}{4}}={tfrac {1}{4}}(2x-1)(2x^{2}-2x-1)}

E4(x)=x4−2x3+x=x(x−1)(x2−x−1){displaystyle {text{E}}_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x=x(x-1)(x^{2}-x-1)}

E5(x)=x5−52x4+52x2−12=12(2x−1)(x2−x−1)2{displaystyle {text{E}}_{5}(x)=x^{5}-{tfrac {5}{2}}x^{4}+{tfrac {5}{2}}x^{2}-{tfrac {1}{2}}={tfrac {1}{2}}(2x-1)(x^{2}-x-1)^{2}}

E6(x)=x6−3x5+5x3−3x=x(x−1)(x4−2x3−2x2+3x+3){displaystyle {text{E}}_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x=x(x-1)(x^{4}-2x^{3}-2x^{2}+3x+3)}

Man kann sie aber auch zu E0(x)=1{displaystyle {text{E}}_{0}(x)=1} und dann für n∈N{displaystyle nin mathbb {N} } über die Gleichung

En(x)=∫cxnEn−1(t)dt{displaystyle {text{E}}_{n}(x)=int _{c}^{x}n{text{E}}_{n-1}(t),{text{d}}t}

induktiv definieren, wobei die untere Integrationsgrenze c{displaystyle c} für ungerades n{displaystyle n} 1/2 ist und für gerades n{displaystyle n} Null ist.

Die Eulerschen Polynome sind symmetrisch um 12{displaystyle {tfrac {1}{2}}}, d. h.

En(12+x)=(−1)nEn(12−x)bzw.En(x+1)=(−1)nEn(−x){displaystyle {text{E}}_{n}({tfrac {1}{2}}+x)=(-1)^{n}{text{E}}_{n}({tfrac {1}{2}}-x)qquad {bzw.}qquad {text{E}}_{n}(x+1)=(-1)^{n}{text{E}}_{n}(-x)}

und ihre Funktionswerte an den Stellen 12{displaystyle {tfrac {1}{2}}} und 0{displaystyle 0} der Beziehung

En(12)=2−nEn{displaystyle {text{E}}_{n}({tfrac {1}{2}})=2^{-n}E_{n}}

und

En−1(0)=(2n+1−2)Bnn{displaystyle {text{E}}_{n-1}(0)=(2^{n+1}-2){frac {B_{n}}{n}}}

genügen, wobei Bn{displaystyle B_{n}} die Bernoulli-Zahl zweiter Art bezeichnet. Ferner haben wir die Identität

En(x+1)+En(x)=2xn{displaystyle {text{E}}_{n}(x+1)+{text{E}}_{n}(x)=2x^{n}}

Das Eulersche Polynom En{displaystyle {text{E}}_{n}} hat für n > 5 weniger als n reelle Nullstellen.
So hat zwar E5{displaystyle {text{E}}_{5}} fünf (allerdings zwei doppelte, sprich nur drei verschiedene), aber schon E6{displaystyle {text{E}}_{6}} nur die zwei (trivialen) Nullstellen bei 0 und bei 1.
Sei R(n)={x∈R:En(x)=0}{displaystyle R(n)={xin mathbb {R} colon {text{E}}_{n}(x)=0}} die Nullstellenmenge. Dann ist

−12|R(n)|+1≤minR(n)≤maxR(n)≤12|R(n)|{displaystyle -{tfrac {1}{2}}|R(n)|+1leq min R(n)leq max R(n)leq {tfrac {1}{2}}|R(n)|}

– wobei im Fall n=5 die Anzahl |R(5)|{displaystyle |R(5)|} als 5 zu bewerten ist, da die Nullstellen mit ihrer Vielfachheit gezählt werden müssen – und es gilt

limn→∞|R(n)|n=2πe≈0,2342{displaystyle lim _{nto infty }{frac {|R(n)|}{n}}={frac {2}{pi e}}approx 0{,}2342}

wobei die Funktion |⋅|{displaystyle |cdot |} angewandt auf eine Menge eigentlich deren Elementanzahl angibt.

Vorkommen |

Taylorreihen |

Die Folge der Eulerschen Zahlen En{displaystyle E_{n}} tritt zum Beispiel in der Taylorentwicklung von

sec⁡(x)=1cos⁡(x)=1cosh⁡(ix)=∑n=0∞(−1)nEnxnn!{displaystyle sec(x)={frac {1}{cos(x)}}={frac {1}{cosh(mathrm {i} ,x)}}=sum _{n=0}^{infty }(-1)^{n}E_{n}{frac {x^{n}}{n!}}}

auf. Sie ist verwandt mit der Folge der Bernoulli-Zahlen Bn{displaystyle B_{n}} was man auch an der Darstellung

csch⁡(x)=1sinh⁡(x)=∑n=0∞(2−2n)Bnxn−1n!{displaystyle operatorname {csch} (x)={frac {1}{sinh(x)}}=sum _{n=0}^{infty }(2-2^{n})B_{n}{frac {x^{n-1}}{n!}}}

erkennt.
Aus dem Konvergenzradius der Taylorentwicklung der Sekans-funktion – der Cosinus im Nenner dort wird 0 bei π2{displaystyle {tfrac {pi }{2}}} – von π2{displaystyle {tfrac {pi }{2}}} folgt aus dem Wurzelkriterium das lim suplog⁡|Enn!|∼nlog⁡(2π){displaystyle limsup log |{tfrac {E_{n}}{n!}}|sim nlog left({tfrac {2}{pi }}right)} asymptotisch gelten muss.
Sie treten natürlich auch in den Taylorreihen der höheren Ableitungen vom Secans hyperbolicus bzw. der Gudermannfunktion auf.

Integrale |

Auch bei manchen uneigentlichen Integralen treten sie auf; beispielsweise bei dem Integral

∫0∞lnn⁡(x)1+x2dx=|En|(π2)n+1{displaystyle int limits _{0}^{infty }{frac {ln ^{n}(x)}{1+x^{2}}},dx=|E_{n}|left({frac {pi }{2}}right)^{n+1}}.

Permutationen |

Die Eulerschen Zahlen kommen beim Zählen der Anzahl alternierender Permutationen mit gerader Elementanzahl vor. Eine alternierende Permutation von Werten ist eine Auflistung dieser Werte a1,a2,…,a2n{displaystyle a_{1},a_{2},ldots ,a_{2n}}, so dass diese Permutation kein Tripel aj−1,aj,aj+1{displaystyle a_{j-1},a_{j},a_{j+1}} mit 1<j<2n{displaystyle 1<j<2n} enthält, das geordnet ist. Allgemein gilt für die Anzahl A2n{displaystyle A_{2n}} der alternierenden Permutationen von 2n{displaystyle 2n} Elementen (die vergleichbar sind)

A2n=2|E2n|{displaystyle A_{2n}=2|E_{2n}|},

wobei der Faktor zwei dadurch entsteht, dass man jede Permutation durch Umdrehen der Reihenfolge in eine andere alternierende Permutation überführen kann. Für eine beliebige (also auch ungerade) Anzahl n∈N0{displaystyle nin mathbb {N} _{0}} gilt

An=2n!αn{displaystyle A_{n}=2,n!,alpha _{n}}

mit α0=α1=1{displaystyle alpha _{0}=alpha _{1}=1} und

αn=12n∑j=0n−1αjαn−1−j{displaystyle alpha _{n}={frac {1}{2n}}sum _{j=0}^{n-1}alpha _{j}alpha _{n-1-j}}

für n≥2{displaystyle ngeq 2}, womit man einen weiteren effizienten Algorithmus auch zur Bestimmung der E2n{displaystyle E_{2n}} erhält. Für ungerades n{displaystyle n} werden die Werte An2{displaystyle {tfrac {A_{n}}{2}}} auch Tangentenzahlen genannt.

Literatur |

• J. M. Borwein, P. B. Borwein, K. Dilcher, Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions, AMM, V. 96, No. 8, (Oct. 1989), pp. 681–687

Einzelnachweise |

1. 
   ↑ M. Abramowitz amd I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions. Dover, N.Y. 1964, p. 807
   

Weblinks |

• NIST Digital Library of Mathematical Functions


• 
  Eric W. Weisstein: Eulersche Zahlen. In: MathWorld (englisch).


• Folge A122045 in OEIS