Nagel-Punkt Inhaltsverzeichnis Eigenschaften | Koordinaten | Literatur | Weblinks |...
Ausgezeichnete Punkte im Dreieck
MathematikerChristian Heinrich von Nagelbesonderen PunktenDreiecksAnkreise
Nagel-Punkt N
Der Nagel-Punkt, benannt nach dem deutschen Mathematiker Christian Heinrich von Nagel (1803–1882), der 1835/36 die Existenz dieses Punktes aufzeigte, gehört zu den besonderen Punkten eines Dreiecks. Für ein gegebenes Dreieck ABC betrachtet man die Punkte D, E und F, in denen die Ankreise die Seiten des Dreiecks berühren. Verbindet man diese Berührpunkte mit den gegenüber liegenden Ecken des Dreiecks (also mit A, B bzw. C), so schneiden sich diese Verbindungsstrecken in einem Punkt N. Dieser wird als Nagel-Punkt des Dreiecks bezeichnet.
Inhaltsverzeichnis
1 Eigenschaften
2 Koordinaten
3 Literatur
4 Weblinks
Eigenschaften |
- Betrachtet man außer dem Nagel-Punkt N des Dreiecks ABC auch den Inkreismittelpunkt I und den Schwerpunkt S, dann liegen die Punkte N, S und I auf einer Geraden, der Nagel-Geraden, und es gilt NS¯:SI¯=2:1{displaystyle {overline {NS}}:{overline {SI}}=2:1}, wobei der Schwerpunkt S zwischen den Punkten N und I liegt. In dieser Eigenschaft weist die Nagel-Gerade eine Analogie zur eulerschen Geraden auf.
- Der Spieker-Punkt ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke von Nagel-Punkt und Inkreismittelpunkt und liegt somit ebenfalls auf der Nagel-Geraden.
- Der Nagelpunkt und der Gergonne-Punkt sind isotomisch konjugiert.
Koordinaten |
| Nagel-Punkt (X8{displaystyle X_{8}}) | |
|---|---|
Trilineare Koordinaten | b+c−aa:c+a−bb:a+b−cc{displaystyle {frac {b+c-a}{a}},:,{frac {c+a-b}{b}},:,{frac {a+b-c}{c}}} |
Baryzentrische Koordinaten | (b+c−a):(c+a−b):(a+b−c){displaystyle (b+c-a),:,(c+a-b),:,(a+b-c)} |
Literatur |
- Peter Baptist: Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt. In: Sudhoffs Archiv 71, 1987, 2, S. 230–233
- Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 225–229 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).
- Edwin Kozniewski, Renata A. Gorska: Gergonne and Nagel Points for Simplices in the n-Dimensional Space. Journal for Geometry and Graphics, Band 4, 2000, Nr. 2, S. 119–127
Victor Thébault: Nagel Point in the Tetrahedron. The American Mathematical Monthly, Band 54, Nr. 5 (Mai, 1947), S. 275–276 (JSTOR 2305352)
Weblinks |
- Eric W. Weisstein. „Nagel Point.“ From MathWorld--A Wolfram Web Resource
- The Nagel and Gergonne Points
- Heinz Klemenz: Merkwürdiges im Dreieck
