Studentisierung Beispiel | Quellen | Navigationsmenü
Deskriptive Statistik
StatistikRealisierungenZufallsvariablenarithmetische Mittelempirische Varianzempirische StandardabweichungverteilteWilliam Sealy GossetSPSSStatisticaStandardisierens
Unter Studentisierung oder Studentisieren versteht man in der mathematischen Statistik eine Transformation der Realisierungen einer Zufallsvariablen, so dass die resultierende Werte das arithmetische Mittel Null und die empirische Varianz Eins besitzen. Da die empirische Standardabweichung der Wurzel der Stichprobenvarianz entspricht, ist diese somit auch gleich Eins.
Studentisieren ist zum Beispiel notwendig, um unterschiedlich verteilte Zufallsvariablen miteinander vergleichen zu können.
Der Name beruht auf dem Pseudonym „Student“ des Statistikers William Sealy Gosset (1876–1937).
Sind xi{displaystyle x_{i}} die n{displaystyle n} Realisierungen einer Zufallsvariable mit arithmetischem Mittel x¯{displaystyle {overline {x}}}, so erhält man die zugehörigen studentisierten Werte dadurch, dass man das arithmetische Mittel subtrahiert und durch die Stichprobenstandardabweichung teilt:
zi=xi−x¯1n∑k(xk−x¯)2{displaystyle z_{i}={frac {x_{i}-{overline {x}}}{sqrt {{frac {1}{n}}sum limits _{k}left(x_{k}-{overline {x}}right)^{2}}}}}
Für diese so erhaltenen Werte zi{displaystyle z_{i}} gilt dann:
- Arithmetisches Mittel: z¯=1n∑izi=0{displaystyle {overline {z}}={frac {1}{n}}sum _{i}{z_{i}}=0}
- Stichprobenvarianz: 1n∑i(zi−z¯)2=1{displaystyle {frac {1}{n}}sum limits _{i}left(z_{i}-{overline {z}}right)^{2}=1}
In vielen Statistikprogrammen wie SPSS und Statistica ist die Möglichkeit des Studentisierens der Messergebnisse bereits eingebaut. Oftmals wird hierbei fälschlicherweise der Begriff des Standardisierens verwendet, bei der eigentlich eine Zufallsvariable selbst – und nicht deren Realisierungen – auf Erwartungswert Null und Varianz Eins transformiert wird. Es ist vielmehr so, dass meistens von Standardisieren gesprochen wird, auch wenn in statistischen Auswertungen eigentlich Studentisieren gemeint ist.
Beispiel |
| Nummer (i) | Originalwert (xi{displaystyle x_{i}}) | Studentisierter Wert (zi{displaystyle z_{i}}) |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 0,5 |
| 2 | −1 | −0,5 |
| 3 | 2 | 0,25 |
| 4 | 4 | 0,75 |
| 5 | −7 | −2 |
| 6 | 7 | 1,5 |
| 7 | 2 | 0,25 |
| 8 | 5 | 1 |
| 9 | −2 | −0,75 |
| 10 | −3 | −1 |
Die nebenstehende Tabelle enthält 10 Realisierungen einer Zufallsvariablen. Dabei sind einmal die Originalwerte xi{displaystyle x_{i}} und die zugehörigen studentisierten Werte zi{displaystyle z_{i}} angegeben.
Für die Originalwerte gilt:
- Arithmetisches Mittel: x¯:=1n∑ixi=1{displaystyle {overline {x}}:={frac {1}{n}}sum _{i}{x_{i}}=1}
- Stichprobenvarianz: 1n∑i(xi−x¯)2=16{displaystyle {frac {1}{n}}sum limits _{i}left(x_{i}-{overline {x}}right)^{2}=16}
Folglich errechnen sich die zugehörigen studentisierten Werte wie folgt:
zi=xi−116=xi−14{displaystyle z_{i}={frac {x_{i}-1}{sqrt {16}}}={frac {x_{i}-1}{4}}}
Für diese so erhaltenen Werte zi{displaystyle z_{i}} gilt dann tatsächlich:
- Arithmetisches Mittel: z¯:=1n∑izi=0{displaystyle {overline {z}}:={frac {1}{n}}sum _{i}{z_{i}}=0}
- Stichprobenvarianz: 1n∑i(zi−z¯)2=1{displaystyle {frac {1}{n}}sum limits _{i}left(z_{i}-{overline {z}}right)^{2}=1}
Mit den studentisierten Werten kann man nun sehr leicht beurteilen, ob ein zugehöriger Originalwert auffällig weit weg vom Mittelwert aller Daten ist. So erkennt man, dass der Wert Nummer 5 sehr niedrig ist, da der zugehörige studentisierte Wert −2{displaystyle -2} beträgt. Dies sagt aus, dass der Originalwert von −7{displaystyle -7} zwei Stichprobenstandardabweichungen kleiner ist als der Mittelwert.
Quellen |
- Bortz, Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler, 6. Auflage, 2005, Springer
- Falk et al., Foundations of statistical analyses and applications with SAS, 2002, Birkhäuser
